1. Datos y fórmulas:
Para resolver esta integral, utilizaremos el método de integración por partes:
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
Recordemos también la derivada de las funciones trigonométricas e hiperbólicas:

• $\frac{d}{dx} \arcsin(w) = \frac{1}{\sqrt{1-w^2}} \cdot \frac{dw}{dx}$


• $\frac{d}{dx} \tanh(x) = \text{sech}^2(x)$


• Identidad fundamental: $1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)$

2. Desarrollo paso a paso:

Paso A: Elección de variables para integración por partes.
Sea:
$$ \begin{aligned} u &= \arcsin(\tanh(x)) \\ dv &= e^x \, dx \end{aligned} $$
Entonces:
$$ \begin{aligned} v &= \int e^x \, dx = e^x \\ du &= \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} \cdot \text{sech}^2(x) \, dx \\ du &= \frac{\text{sech}^2(x)}{\sqrt{\text{sech}^2(x)}} \, dx = \frac{\text{sech}^2(x)}{\text{sech}(x)} \, dx = \text{sech}(x) \, dx \end{aligned} $$

Paso B: Aplicación de la fórmula de integración por partes.
$$ I = e^x \arcsin(\tanh(x)) - \int e^x \text{sech}(x) \, dx $$

Paso C: Resolución de la integral restante.
Sabiendo que $\text{sech}(x) = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$:
$$ \int e^x \text{sech}(x) \, dx = \int e^x \left( \frac{2}{e^x + e^{-x}} \right) \, dx = \int \frac{2e^x}{e^x + e^{-x}} \, dx $$
Multiplicamos numerador y denominador por $e^x$:
$$ \int \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + 1} \, dx $$
Hacemos un cambio de variable $w = e^{2x} + 1$, donde $dw = 2e^{2x} \, dx$:
$$ \int \frac{dw}{w} = \log|w| = \log(e^{2x} + 1) $$

3. Resultado final:
Sustituyendo en la expresión de $I$:
$$ \boxed{e^x \arcsin(\tanh(x)) - \log(e^{2x} + 1) + C} $$