1. Factorización:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{2(x^2 - 1/2)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - (1/\sqrt{2})^2}}$$

2. Forma estándar:
Esta integral tiene la forma $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln|u + \sqrt{u^2 - a^2}| + C$.
Aquí $a = 1/\sqrt{2}$.

3. Resultado directo:
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| x + \sqrt{x^2 - 1/2} \right| + C$$
Multiplicando dentro del logaritmo por $\sqrt{2}$ (lo cual se absorbe en la constante $C$):
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \sqrt{2}x + \sqrt{2x^2 - 1} \right| + C$$

Resultado:
$$\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \sqrt{2}x + \sqrt{2x^2 - 1} \right| + C$$