1. Identificación y preparación:
Se observa que el trinomio bajo la raíz cuadrada puede completarse para formar un cuadrado perfecto.
$$ x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 3 = (x - 2)^2 + 3 $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = x - 2$, entonces $du = dx$. Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{du}{u^2 \sqrt{u^2 + 3}} $$

3. Sustitución trigonométrica:
Dada la forma $\sqrt{u^2 + a^2}$, usamos $u = \sqrt{3} \tan(\theta)$, lo cual implica:

• $du = \sqrt{3} \sec^2(\theta) d\theta$
• $\sqrt{u^2 + 3} = \sqrt{3\tan^2(\theta) + 3} = \sqrt{3}\sec(\theta)$

Sustituyendo estos valores en la integral:
$$ I = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2(\theta) d\theta}{(\sqrt{3} \tan(\theta))^2 \cdot \sqrt{3}\sec(\theta)} $$
$$ I = \int \frac{\sec(\theta)}{3 \tan^2(\theta)} d\theta = \frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{\cos(\theta)}}{\frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)}} d\theta = \frac{1}{3} \int \frac{\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)} d\theta $$

4. Integración:
Usamos un cambio simple $v = \sin(\theta)$, $dv = \cos(\theta) d\theta$:
$$ I = \frac{1}{3} \int v^{-2} dv = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{v} \right) = -\frac{1}{3 \sin(\theta)} + C = -\frac{1}{3} \csc(\theta) + C $$

5. Retorno a la variable original:
A partir de $u = \sqrt{3} \tan(\theta) \Rightarrow \tan(\theta) = \frac{u}{\sqrt{3}}$. Por Pitágoras, la hipotenusa es $\sqrt{u^2+3}$, por lo que $\csc(\theta) = \frac{\sqrt{u^2+3}}{u}$.
$$ I = -\frac{\sqrt{u^2 + 3}}{3u} + C $$
Sustituyendo $u = x - 2$:
$$ \boxed{I = -\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 7}}{3(x - 2)} + C} $$