1. Datos del problema:
Integral con suma de potencias sextas en el numerador.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidad de suma de cubos: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.


• Identidad fundamental: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, reescribimos el numerador como una suma de cubos:
$$ \sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 $$
Aplicando la identidad:
$$ (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) $$
Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, el numerador se simplifica a:
$$ \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x $$
Ahora sustituimos esto en la integral:
$$ I = \int \frac{\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx $$
Dividimos cada término del numerador por el denominador:
$$ I = \int \left( \frac{\sin^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} - \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \right) dx $$
$$ I = \int (\tan^2 x - 1 + \cot^2 x) dx $$
Expresamos en términos de secantes y cosecantes:
$$ I = \int [(\sec^2 x - 1) - 1 + (\csc^2 x - 1)] dx $$
$$ I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x - 3) dx $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ \tan x - \cot x - 3x + C } $$