1. Datos del problema:

• Expresión: $E = (\tan 2A + \sec 2A)(\cos A - \sin A)$
• Objetivo: Reducir a términos de ángulo simple ($A$).

2. Fórmulas y Propiedades:
$$ \begin{array}{ll} \hline \text{Identidad} & \text{Fórmula} \\ \hline \text{Tangente doble} & \tan 2A = \frac{\sin 2A}{\cos 2A} \\ \text{Secante doble} & \sec 2A = \frac{1}{\cos 2A} \\ \text{Seno doble} & \sin 2A = 2 \sin A \cos A \\ \text{Coseno doble} & \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A \\ \text{Pitagórica} & 1 = \sin^2 A + \cos^2 A \\ \hline \end{array} $$

3. Desarrollo paso a paso:

Paso A: Expresar el primer paréntesis en términos de seno y coseno:
$$ \tan 2A + \sec 2A = \frac{\sin 2A}{\cos 2A} + \frac{1}{\cos 2A} = \frac{\sin 2A + 1}{\cos 2A} $$

Paso B: Expandir el numerador y el denominador usando identidades de ángulo doble:
En el numerador, usamos $1 = \sin^2 A + \cos^2 A$ y $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$:
$$ \sin 2A + 1 = \cos^2 A + \sin^2 A + 2 \sin A \cos A = (\cos A + \sin A)^2 $$

En el denominador, usamos la diferencia de cuadrados para $\cos 2A$:
$$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = (\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A) $$

Paso C: Reensamblar la fracción simplificada:
$$ \frac{(\cos A + \sin A)^2}{(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)} = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A} $$

Paso D: Sustituir en la expresión original $E$:
$$ E = \left( \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A} \right) (\cos A - \sin A) $$

Cancelamos el factor común $(\cos A - \sin A)$:
$$ E = \cos A + \sin A $$

4. Resultado final:
La expresión simplificada es la suma de las funciones básicas del ángulo simple.
$$ \boxed{E = \sin A + \cos A} $$