Iii
MATU • Trigonometria
MATU_trigonometria_024
Transcripción de imagen (problema 158)
Enunciado
Si $x+y+z=\pi$, demostrar que:
$$ \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z = 2 $$
$$ \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z = 2 $$
Solución Paso a Paso
1. Datos y Representación Conceptual:
Dado que $x + y + z = \pi$, los ángulos pueden considerarse los ángulos internos de un triángulo. Por lo tanto, se cumple que $z = \pi - (x + y)$.
Representación de la relación de ángulos:
$$ \begin{array}{c} \text{Suma de Ángulos Internos} \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z \\ \hline \end{array} \\ \downarrow \\ x + y + z = 180^\circ (\pi \text{ rad}) \end{array} $$
2. Propiedades a utilizar:
3. Desarrollo de la demostración:
Partimos del lado izquierdo de la igualdad (LI):
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z $$
Sustituimos $\sin^2 z$ por $1 - \cos^2 z$:
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos^2 z - 2\cos x \cos y \cos z $$
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z (\cos z + 2\cos x \cos y) $$
Sustituimos $\cos z = -\cos(x+y)$ dentro del paréntesis:
$$ \begin{aligned} LI &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \big( -\cos(x+y) + 2\cos x \cos y \big) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \big( -(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + 2\cos x \cos y \big) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \big( -\cos x \cos y + \sin x \sin y + 2\cos x \cos y \big) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z (\cos x \cos y + \sin x \sin y) \end{aligned} $$
Usamos la identidad $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \cos(x-y) $$
Sustituimos nuevamente $\cos z = -\cos(x+y)$:
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 + \cos(x+y) \cos(x-y) $$
Aplicamos la identidad de producto a suma $\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 x - \sin^2 y$:
$$ \begin{aligned} LI &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 + (\cos^2 x - \sin^2 y) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 + \cos^2 x - \sin^2 y \\ &= (\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned} $$
Resultado final:
Se ha verificado que la expresión se reduce a la unidad constante requerida.
$$ \boxed{\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z = 2} $$
Dado que $x + y + z = \pi$, los ángulos pueden considerarse los ángulos internos de un triángulo. Por lo tanto, se cumple que $z = \pi - (x + y)$.
Representación de la relación de ángulos:
$$ \begin{array}{c} \text{Suma de Ángulos Internos} \\ \hline \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & y & z \\ \hline \end{array} \\ \downarrow \\ x + y + z = 180^\circ (\pi \text{ rad}) \end{array} $$
2. Propiedades a utilizar:
- Suplemento: $\cos z = \cos(\pi - (x+y)) = -\cos(x+y)$
- Coseno de la suma: $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
- Identidad de reducción de potencia: $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$
3. Desarrollo de la demostración:
Partimos del lado izquierdo de la igualdad (LI):
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z $$
Sustituimos $\sin^2 z$ por $1 - \cos^2 z$:
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos^2 z - 2\cos x \cos y \cos z $$
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z (\cos z + 2\cos x \cos y) $$
Sustituimos $\cos z = -\cos(x+y)$ dentro del paréntesis:
$$ \begin{aligned} LI &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \big( -\cos(x+y) + 2\cos x \cos y \big) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \big( -(\cos x \cos y - \sin x \sin y) + 2\cos x \cos y \big) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \big( -\cos x \cos y + \sin x \sin y + 2\cos x \cos y \big) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z (\cos x \cos y + \sin x \sin y) \end{aligned} $$
Usamos la identidad $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 - \cos z \cos(x-y) $$
Sustituimos nuevamente $\cos z = -\cos(x+y)$:
$$ LI = \sin^2 x + \sin^2 y + 1 + \cos(x+y) \cos(x-y) $$
Aplicamos la identidad de producto a suma $\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 x - \sin^2 y$:
$$ \begin{aligned} LI &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 + (\cos^2 x - \sin^2 y) \\ &= \sin^2 x + \sin^2 y + 1 + \cos^2 x - \sin^2 y \\ &= (\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \end{aligned} $$
Resultado final:
Se ha verificado que la expresión se reduce a la unidad constante requerida.
$$ \boxed{\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z - 2\cos x \cos y \cos z = 2} $$