Ii
MATU • Algebra
MATU_operaciones_algebraicas_073
Guía de Estudios
Enunciado
Hallar $m$ y $n$ si el polinomio:
$$P(x,y) = 4x^{2m+n-4} y^{m+n+2} + 7x^{2m+n-3} y^{m+n+1} + 9x^{2m+n-2} y^{m+n}$$
es de grado absoluto veintiocho y la diferencia de los grados relativos de "$x$" e "$y$" es 6. Dar el valor de $m + n$.
$$ \begin{array}{lllll} \text{a) } 10 & \text{b) } 12 & \text{c) } 8 & \text{d) } 14 & \text{e) } 16 \end{array} $$
$$P(x,y) = 4x^{2m+n-4} y^{m+n+2} + 7x^{2m+n-3} y^{m+n+1} + 9x^{2m+n-2} y^{m+n}$$
es de grado absoluto veintiocho y la diferencia de los grados relativos de "$x$" e "$y$" es 6. Dar el valor de $m + n$.
$$ \begin{array}{lllll} \text{a) } 10 & \text{b) } 12 & \text{c) } 8 & \text{d) } 14 & \text{e) } 16 \end{array} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Para un polinomio, el Grado Absoluto ($GA$) es el mayor grado de sus términos (monomios), y el Grado Relativo ($GR$) respecto a una variable es el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.
2. Análisis de los grados por término:
Calculamos el grado absoluto de cada uno de los tres términos sumando los exponentes de $x$ e $y$:
Observamos que el polinomio es homogéneo, ya que todos sus términos tienen el mismo grado. Por lo tanto:
\begin{equation}
3m + 2n - 2 = 28 \implies 3m + 2n = 30
\end{equation}
3. Determinación de los Grados Relativos:
Buscamos el mayor exponente para cada variable:
4. Aplicación de la condición de diferencia de grados:
Sustituimos los valores encontrados en la condición $GR_x - GR_y = 6$:
$$ (2m+n-2) - (m+n+2) = 6 $$
Quitamos paréntesis con cuidado de los signos:
$$ 2m + n - 2 - m - n - 2 = 6 $$
Agrupamos términos semejantes:
$$ m - 4 = 6 \implies m = 10 $$
5. Cálculo de $n$ y resultado final:
Sustituimos el valor de $m = 10$ en la ecuación (1):
$$ 3(10) + 2n = 30 $$
$$ 30 + 2n = 30 \implies 2n = 0 \implies n = 0 $$
Finalmente, calculamos el valor solicitado $m + n$:
$$ m + n = 10 + 0 = 10 $$
Conclusión:
El valor de la suma de las constantes es 10, lo cual coincide con la opción (a).
$$ \boxed{m + n = 10} $$
Para un polinomio, el Grado Absoluto ($GA$) es el mayor grado de sus términos (monomios), y el Grado Relativo ($GR$) respecto a una variable es el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.
- $GA(P) = 28$
- $GR_x - GR_y = 6$
2. Análisis de los grados por término:
Calculamos el grado absoluto de cada uno de los tres términos sumando los exponentes de $x$ e $y$:
- $T_1: (2m+n-4) + (m+n+2) = 3m + 2n - 2$
- $T_2: (2m+n-3) + (m+n+1) = 3m + 2n - 2$
- $T_3: (2m+n-2) + (m+n) = 3m + 2n - 2$
Observamos que el polinomio es homogéneo, ya que todos sus términos tienen el mismo grado. Por lo tanto:
\begin{equation}
3m + 2n - 2 = 28 \implies 3m + 2n = 30
\end{equation}
3. Determinación de los Grados Relativos:
Buscamos el mayor exponente para cada variable:
- Para $x$: Los exponentes son $\{2m+n-4, 2m+n-3, 2m+n-2\}$. El mayor es $GR_x = 2m+n-2$.
- Para $y$: Los exponentes son $\{m+n+2, m+n+1, m+n\}$. El mayor es $GR_y = m+n+2$.
4. Aplicación de la condición de diferencia de grados:
Sustituimos los valores encontrados en la condición $GR_x - GR_y = 6$:
$$ (2m+n-2) - (m+n+2) = 6 $$
Quitamos paréntesis con cuidado de los signos:
$$ 2m + n - 2 - m - n - 2 = 6 $$
Agrupamos términos semejantes:
$$ m - 4 = 6 \implies m = 10 $$
5. Cálculo de $n$ y resultado final:
Sustituimos el valor de $m = 10$ en la ecuación (1):
$$ 3(10) + 2n = 30 $$
$$ 30 + 2n = 30 \implies 2n = 0 \implies n = 0 $$
Finalmente, calculamos el valor solicitado $m + n$:
$$ m + n = 10 + 0 = 10 $$
Conclusión:
El valor de la suma de las constantes es 10, lo cual coincide con la opción (a).
$$ \boxed{m + n = 10} $$