Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_694
IIT-JEE 2011
Enunciado
Sean $P = \{ \theta : \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta \}$ y $Q = \{ \theta : \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta \}$ dos conjuntos. Entonces:
(a) $P \subset Q$ y $Q - P \neq \emptyset$
(b) $Q \not\subset P$
(c) $P \not\subset Q$
(d) $P = Q$
(a) $P \subset Q$ y $Q - P \neq \emptyset$
(b) $Q \not\subset P$
(c) $P \not\subset Q$
(d) $P = Q$
Solución Paso a Paso
1. Resolver el conjunto $P$:
$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta \implies \sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta \implies \tan \theta = \sqrt{2} + 1$
2. Resolver el conjunto $Q$:
$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta \implies \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$
Racionalizando el denominador de $Q$:
$\tan \theta = \frac{1(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$
3. Conclusión:
Como ambas ecuaciones resultan en la misma condición para $\tan \theta$, los conjuntos de soluciones para $\theta$ son idénticos.
$P = Q$.
$$ \boxed{\text{Opción (d)}} $$
$\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta \implies \sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta \implies \tan \theta = \sqrt{2} + 1$
2. Resolver el conjunto $Q$:
$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta \implies \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta \implies \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$
Racionalizando el denominador de $Q$:
$\tan \theta = \frac{1(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$
3. Conclusión:
Como ambas ecuaciones resultan en la misma condición para $\tan \theta$, los conjuntos de soluciones para $\theta$ son idénticos.
$P = Q$.
$$ \boxed{\text{Opción (d)}} $$