Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_691
IIT-JEE 2006
Enunciado
Sea $\theta \in \left( 0, \frac{\pi}{4} \right)$ y $t_1 = (\tan \theta)^{\tan \theta}$, $t_2 = (\tan \theta)^{\cot \theta}$, $t_3 = (\cot \theta)^{\tan \theta}$, $t_4 = (\cot \theta)^{\cot \theta}$, entonces:
(a) $t_1 > t_2 > t_3 > t_4$
(b) $t_4 > t_3 > t_1 > t_2$
(c) $t_3 > t_1 > t_2 > t_4$
(d) $t_2 > t_3 > t_1 > t_4$
(a) $t_1 > t_2 > t_3 > t_4$
(b) $t_4 > t_3 > t_1 > t_2$
(c) $t_3 > t_1 > t_2 > t_4$
(d) $t_2 > t_3 > t_1 > t_4$
Solución Paso a Paso
1. Análisis de los rangos de las funciones:
Dado que $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$:
2. Comparación de las bases y exponentes:
Sea $x = \tan \theta$, donde $0 < x < 1$. Entonces $\cot \theta = \frac{1}{x} > 1$.
Los valores son:
3. Evaluación de magnitudes:
Como $x \in (0, 1)$, sabemos que $x^y$ es una función decreciente respecto a $y$.
Comparamos los exponentes de base $x$:
Sabemos que para $0 < x < 1$:
$-1/x < -x < x < 1/x$
Al ser la base $x < 1$, el orden de las potencias se invierte:
$x^{-1/x} > x^{-x} > x^x > x^{1/x}$
4. Conclusión:
Sustituyendo los valores de $t_n$:
$t_4 > t_3 > t_1 > t_2$
$$ \boxed{\text{Opción (b)}} $$
Dado que $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$:
- $0 < \tan \theta < 1$
- $\cot \theta > 1$
2. Comparación de las bases y exponentes:
Sea $x = \tan \theta$, donde $0 < x < 1$. Entonces $\cot \theta = \frac{1}{x} > 1$.
Los valores son:
- $t_1 = x^x$
- $t_2 = x^{1/x}$
- $t_3 = (1/x)^x = x^{-x}$
- $t_4 = (1/x)^{1/x} = x^{-1/x}$
3. Evaluación de magnitudes:
Como $x \in (0, 1)$, sabemos que $x^y$ es una función decreciente respecto a $y$.
Comparamos los exponentes de base $x$:
Sabemos que para $0 < x < 1$:
$-1/x < -x < x < 1/x$
Al ser la base $x < 1$, el orden de las potencias se invierte:
$x^{-1/x} > x^{-x} > x^x > x^{1/x}$
4. Conclusión:
Sustituyendo los valores de $t_n$:
$t_4 > t_3 > t_1 > t_2$
$$ \boxed{\text{Opción (b)}} $$