Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_688
IIT-JEE-2004
Enunciado
Dado que $\theta$ y $\phi$ son ángulos agudos, $\sin \theta = 1/2$ y $\cos \phi = 1/3$, entonces el valor de $(\theta + \phi)$ pertenece al intervalo:
(a) $(\pi/3, \pi/2)$
(b) $(\pi/2, 2\pi/3)$
(c) $(2\pi/3, 5\pi/6)$
(d) $(5\pi/6, \pi)$
(a) $(\pi/3, \pi/2)$
(b) $(\pi/2, 2\pi/3)$
(c) $(2\pi/3, 5\pi/6)$
(d) $(5\pi/6, \pi)$
Solución Paso a Paso
1. Determinación de ángulos:
Si $\sin \theta = 1/2$ y es agudo, entonces $\theta = \pi/6 = 30^\circ$.
Para $\cos \phi = 1/3$:
Sabemos que $\cos(\pi/3) = 1/2 = 0.5$ y $\cos(\pi/2) = 0$.
Como $0 < 1/3 < 1/2$, entonces $\pi/3 < \phi < \pi/2$.
2. Suma de ángulos:
Sumamos $\theta = \pi/6$ a los límites de $\phi$:
$$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta + \phi < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} $$
$$ \frac{\pi + 2\pi}{6} < \theta + \phi < \frac{\pi + 3\pi}{6} $$
$$ \frac{\pi}{2} < \theta + \phi < \frac{2\pi}{3} $$
$$ \boxed{\left( \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} \right)} $$
Si $\sin \theta = 1/2$ y es agudo, entonces $\theta = \pi/6 = 30^\circ$.
Para $\cos \phi = 1/3$:
Sabemos que $\cos(\pi/3) = 1/2 = 0.5$ y $\cos(\pi/2) = 0$.
Como $0 < 1/3 < 1/2$, entonces $\pi/3 < \phi < \pi/2$.
2. Suma de ángulos:
Sumamos $\theta = \pi/6$ a los límites de $\phi$:
$$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta + \phi < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} $$
$$ \frac{\pi + 2\pi}{6} < \theta + \phi < \frac{\pi + 3\pi}{6} $$
$$ \frac{\pi}{2} < \theta + \phi < \frac{2\pi}{3} $$
$$ \boxed{\left( \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3} \right)} $$