1. Datos y fórmulas:
La función dada es $f(\theta) = \sin \theta (\sin \theta + \sin 3\theta)$.
Utilizaremos la fórmula de transformación de suma a producto:
$$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

2. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la identidad a la expresión $(\sin \theta + \sin 3\theta)$:
$$ \sin 3\theta + \sin \theta = 2 \sin\left(\frac{3\theta + \theta}{2}\right) \cos\left(\frac{3\theta - \theta}{2}\right) = 2 \sin 2\theta \cos \theta $$
Sustituimos en la función original:
$$ f(\theta) = \sin \theta (2 \sin 2\theta \cos \theta) $$
Usamos la identidad del ángulo doble $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$:
$$ f(\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta (2 \sin \theta \cos \theta) $$
$$ f(\theta) = (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = (\sin 2\theta)^2 $$
$$ f(\theta) = \sin^2 2\theta $$

3. Conclusión:
Dado que cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero:
$$ \sin^2 2\theta \geq 0 \quad \text{para todo } \theta \in \mathbb{R} $$
Por lo tanto, la función siempre es no negativa independientemente del signo de $\theta$. Analizando las opciones, la (a) es una afirmación verdadera dentro de su dominio.

$$ \boxed{f(\theta) \geq 0 \text{ para todo } \theta \in \mathbb{R}} $$