1. Datos y Propiedades:
Utilizaremos la identidad de producto de senos:
$$ \sin(\theta) \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta) $$

2. Desarrollo:
Convertimos los ángulos a grados para facilitar la visualización:

• $\frac{\pi}{18} = 10^\circ$


• $\frac{5\pi}{18} = 50^\circ$


• $\frac{7\pi}{18} = 70^\circ$

Entonces la expresión es:
$$ k = \sin(10^\circ) \sin(50^\circ) \sin(70^\circ) $$

Observamos que:

• $50^\circ = 60^\circ - 10^\circ$


• $70^\circ = 60^\circ + 10^\circ$

Sustituyendo $\theta = 10^\circ$ en la identidad:
$$ k = \sin(10^\circ) \sin(60^\circ - 10^\circ) \sin(60^\circ + 10^\circ) $$
$$ k = \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 10^\circ) $$
$$ k = \frac{1}{4} \sin(30^\circ) $$

Como $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:
$$ k = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

$$ \boxed{k = \frac{1}{8}} $$