1. Datos del problema:
Sea $P$ el producto de los senos de ángulos en progresión aritmética.

2. Fórmulas y propiedades:

• $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$
• $\sin(\pi/2) = 1$
• $\cos \theta = \sin(\pi/2 - \theta)$
• Producto de cosenos: $\prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{1}{2^n}$

3. Desarrollo paso a paso:
Primero simplificamos los términos usando $\sin(\theta) = \sin(\pi - \theta)$:

• $\sin(13\pi/14) = \sin(\pi/14)$
• $\sin(11\pi/14) = \sin(3\pi/14)$
• $\sin(9\pi/14) = \sin(5\pi/14)$
• $\sin(7\pi/14) = \sin(\pi/2) = 1$

El producto queda:
$$ P = \left[ \sin\left(\frac{\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \sin\left(\frac{5\pi}{14}\right) \right]^2 \cdot 1 $$
Usando la relación $\sin \theta = \cos(\pi/2 - \theta)$:
$$ \sin(\pi/14) = \cos(3\pi/7), \quad \sin(3\pi/14) = \cos(2\pi/7), \quad \sin(5\pi/14) = \cos(\pi/7) $$
Entonces:
$$ P = \left[ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{3\pi}{7}\right) \right]^2 $$
Sabemos que $\cos(3\pi/7) = -\cos(4\pi/7)$, por lo que:
$$ P = \left[ -\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) \right]^2 $$
Aplicando la fórmula del producto de cosenos $\frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$:
$$ \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) = \frac{\sin(8\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = \frac{-\sin(\pi/7)}{8 \sin(\pi/7)} = -\frac{1}{8} $$
Finalmente:
$$ P = \left( -\left(-\frac{1}{8}\right) \right)^2 = \left( \frac{1}{8} \right)^2 = \frac{1}{64} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{64}} $$