1. Identificación de ángulos suplementarios:
Observamos que los ángulos en los factores extremos y medios suman $\pi$:

• $\frac{\pi}{8} + \frac{7\pi}{8} = \pi \implies \frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$
• $\frac{3\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} = \pi \implies \frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}$

2. Aplicación de la propiedad de reducción al primer cuadrante:
Sabemos que $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$. Por lo tanto:

• $\cos\left( \frac{7\pi}{8} \right) = \cos\left( \pi - \frac{\pi}{8} \right) = -\cos\left( \frac{\pi}{8} \right)$
• $\cos\left( \frac{5\pi}{8} \right) = \cos\left( \pi - \frac{3\pi}{8} \right) = -\cos\left( \frac{3\pi}{8} \right)$

3. Reemplazo en la expresión original:
Sea $E$ la expresión dada:
$$ E = \left( 1 + \cos\frac{\pi}{8} \right) \left( 1 + \cos\frac{3\pi}{8} \right) \left( 1 - \cos\frac{3\pi}{8} \right) \left( 1 - \cos\frac{\pi}{8} \right) $$
Agrupando términos como diferencias de cuadrados ($ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $):
$$ E = \left( 1 - \cos^2 \frac{\pi}{8} \right) \left( 1 - \cos^2 \frac{3\pi}{8} \right) $$
Usando la identidad fundamental $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$ E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3\pi}{8} $$

4. Uso de ángulos complementarios:
Como $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$, entonces $\sin\frac{3\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{8}$:
$$ E = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = \left( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \right)^2 $$

5. Aplicación del seno del ángulo doble:
Sabemos que $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$.
$$ E = \left( \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \right)^2 $$
Sustituyendo $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$$ E = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8} $$

$$ \boxed{1/8} $$
La respuesta correcta es la (c).