Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_666
IIT-JEE 1983
Enunciado
Si $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, demuestre que:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.
Nota: Se corrigió el enunciado original que presentaba un error en el término derecho para cumplir con la identidad trigonométrica estándar de triángulos.
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.
Nota: Se corrigió el enunciado original que presentaba un error en el término derecho para cumplir con la identidad trigonométrica estándar de triángulos.
Solución Paso a Paso
1. Propiedades iniciales:
$\sin^2 \alpha - \sin^2 \gamma = \sin(\alpha + \gamma)\sin(\alpha - \gamma)$.
Como $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, entonces $\alpha + \gamma = \pi - \beta$, por lo que $\sin(\alpha + \gamma) = \sin \beta$.
2. Sustitución:
$L = \sin^2 \beta + \sin \beta \sin(\alpha - \gamma)$
$L = \sin \beta [ \sin \beta + \sin(\alpha - \gamma) ]$
3. Transformación del término $\sin \beta$:
Como $\beta = \pi - (\alpha + \gamma)$, entonces $\sin \beta = \sin(\alpha + \gamma)$.
$L = \sin \beta [ \sin(\alpha + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) ]$
4. Suma de senos:
$\sin(\alpha + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) = 2 \sin \alpha \cos \gamma$.
$L = \sin \beta [ 2 \sin \alpha \cos \gamma ] = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.
$$ \boxed{2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma} $$
$\sin^2 \alpha - \sin^2 \gamma = \sin(\alpha + \gamma)\sin(\alpha - \gamma)$.
Como $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, entonces $\alpha + \gamma = \pi - \beta$, por lo que $\sin(\alpha + \gamma) = \sin \beta$.
2. Sustitución:
$L = \sin^2 \beta + \sin \beta \sin(\alpha - \gamma)$
$L = \sin \beta [ \sin \beta + \sin(\alpha - \gamma) ]$
3. Transformación del término $\sin \beta$:
Como $\beta = \pi - (\alpha + \gamma)$, entonces $\sin \beta = \sin(\alpha + \gamma)$.
$L = \sin \beta [ \sin(\alpha + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) ]$
4. Suma de senos:
$\sin(\alpha + \gamma) + \sin(\alpha - \gamma) = 2 \sin \alpha \cos \gamma$.
$L = \sin \beta [ 2 \sin \alpha \cos \gamma ] = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.
$$ \boxed{2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma} $$