1. Análisis de los ángulos:
Dado que $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, entonces:
$0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ (Primer cuadrante).
$-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$. Como $\sin(\alpha - \beta) = 5/13 > 0$, el ángulo $\alpha - \beta$ debe estar en el primer cuadrante.

2. Determinación de las funciones restantes:
Para $(\alpha + \beta)$:
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5} \implies \sin(\alpha + \beta) = \sqrt{1 - (4/5)^2} = \frac{3}{5}$.
Entonces, $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

Para $(\alpha - \beta)$:
$\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13} \implies \cos(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - (5/13)^2} = \frac{12}{13}$.
Entonces, $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.

3. Uso de identidades de suma:
Podemos escribir $2\alpha$ como $(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)$. Aplicando la fórmula de la tangente de una suma:
$$ \tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan(\alpha - \beta)}{1 - \tan(\alpha + \beta)\tan(\alpha - \beta)} $$

4. Cálculo final:
$$ \begin{aligned} \tan 2\alpha &= \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4})(\frac{5}{12})} = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} \\ &= \frac{\frac{14}{12}}{\frac{48-15}{48}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{33}{48}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{48}{33} \\ &= \frac{7 \cdot 8}{33} = \frac{56}{33} \end{aligned} $$
$$ \boxed{\tan 2\alpha = \frac{56}{33}} $$