Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_658
IIT-JEE
Enunciado
Afirmación (A): Si $A + B + C = \pi$, entonces el valor máximo de $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ es $3\sqrt{3}$ (para un triángulo acutángulo).
Razón (R): $A.M \geq G.M$ (Media Aritmética $\geq$ Media Geométrica).
Razón (R): $A.M \geq G.M$ (Media Aritmética $\geq$ Media Geométrica).
Solución Paso a Paso
En un triángulo, se cumple la identidad:
$$ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$
Sea $x = \tan A, y = \tan B, z = \tan C$. Para un triángulo acutángulo, $x, y, z > 0$.
Por la desigualdad MA-MG:
$$ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} $$
Sustituyendo la identidad $x + y + z = xyz$:
$$ \frac{xyz}{3} \geq (xyz)^{1/3} $$
Elevando al cubo:
$$ \frac{(xyz)^3}{27} \geq xyz \implies (xyz)^2 \geq 27 \implies xyz \geq \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$
Nota corregida: El valor $3\sqrt{3}$ es en realidad el valor mínimo para el producto de las tangentes en un triángulo acutángulo. La afirmación (A) suele referirse a este valor crítico.
Conclusión:
La razón es una herramienta válida, pero la afirmación sobre el "máximo" es incorrecta (es un mínimo).
$$ \boxed{\text{Respuesta: (d)}} $$
$$ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$
Sea $x = \tan A, y = \tan B, z = \tan C$. Para un triángulo acutángulo, $x, y, z > 0$.
Por la desigualdad MA-MG:
$$ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} $$
Sustituyendo la identidad $x + y + z = xyz$:
$$ \frac{xyz}{3} \geq (xyz)^{1/3} $$
Elevando al cubo:
$$ \frac{(xyz)^3}{27} \geq xyz \implies (xyz)^2 \geq 27 \implies xyz \geq \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$
Nota corregida: El valor $3\sqrt{3}$ es en realidad el valor mínimo para el producto de las tangentes en un triángulo acutángulo. La afirmación (A) suele referirse a este valor crítico.
Conclusión:
La razón es una herramienta válida, pero la afirmación sobre el "máximo" es incorrecta (es un mínimo).
$$ \boxed{\text{Respuesta: (d)}} $$