1. Análisis de la Razón (R): En cualquier triángulo $A+B+C = 180^\circ$, por lo tanto $A = 180^\circ - (B+C)$.
$\tan A = \tan(180^\circ - (B+C)) = -\tan(B+C)$
Usando la fórmula de la suma:
$\tan A = -\left( \frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C} \right) = \frac{\tan B + \tan C}{\tan B \tan C - 1}$
La razón es verdadera.

2. Análisis de la Aserción (A): Si $A$ es obtuso ($90^\circ < A < 180^\circ$), entonces $\tan A < 0$.
De la fórmula en (R): $\frac{\tan B + \tan C}{\tan B \tan C - 1} < 0$.
Como $A$ es obtuso, $B$ y $C$ deben ser agudos (su suma es $< 90^\circ$), por lo que $\tan B > 0$ y $\tan C > 0$, lo que implica que el numerador $\tan B + \tan C$ es positivo.
Para que la fracción sea negativa, el denominador debe ser negativo:
$\tan B \tan C - 1 < 0 \implies \tan B \tan C < 1$.
La aserción dice $\tan B \tan C > 1$, lo cual es falso.

3. Conclusión: A es falsa pero R es verdadera.

$$ \boxed{(d)} $$