Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_648
Problemas Selectos
Enunciado
Si $\alpha$ y $\beta$ son las soluciones de la ecuación $a \cos \theta + b \sin \theta = c$, relacione los valores de las siguientes expresiones con sus equivalentes:
\begin{array}{ll}
Column I & Column II \\
\text{(A) El valor de } \sin \alpha + \sin \beta \text{ es} & \text{(P) } \frac{c^2 - b^2}{a^2 + b^2} \\
\text{(B) El valor de } \sin \alpha \cdot \sin \beta \text{ es} & \text{(Q) } \frac{2ac}{a^2 + b^2} \\
\text{(C) El valor de } \cos \alpha + \cos \beta \text{ es} & \text{(R) } \frac{c^2 - a^2}{a^2 + b^2} \\
\text{(D) El valor de } \cos \alpha \cdot \cos \beta \text{ es} & \text{(S) } \frac{2bc}{a^2 + b^2}
\end{array}
\begin{array}{ll}
Column I & Column II \\
\text{(A) El valor de } \sin \alpha + \sin \beta \text{ es} & \text{(P) } \frac{c^2 - b^2}{a^2 + b^2} \\
\text{(B) El valor de } \sin \alpha \cdot \sin \beta \text{ es} & \text{(Q) } \frac{2ac}{a^2 + b^2} \\
\text{(C) El valor de } \cos \alpha + \cos \beta \text{ es} & \text{(R) } \frac{c^2 - a^2}{a^2 + b^2} \\
\text{(D) El valor de } \cos \alpha \cdot \cos \beta \text{ es} & \text{(S) } \frac{2bc}{a^2 + b^2}
\end{array}
Solución Paso a Paso
Dada la ecuación $a \cos \theta + b \sin \theta = c$.
1. Para senos (incisos A y B):
Aislamos el coseno: $a \cos \theta = c - b \sin \theta$.
Elevamos al cuadrado: $a^2 (1 - \sin^2 \theta) = (c - b \sin \theta)^2$.
$a^2 - a^2 \sin^2 \theta = c^2 - 2bc \sin \theta + b^2 \sin^2 \theta$.
Reordenando como ecuación cuadrática en $\sin \theta$:
$(a^2 + b^2) \sin^2 \theta - 2bc \sin \theta + (c^2 - a^2) = 0$.
Por las relaciones de Vieta, si $\sin \alpha$ y $\sin \beta$ son raíces:
$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{2bc}{a^2 + b^2}$ (S)
$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{c^2 - a^2}{a^2 + b^2}$ (R)
2. Para cosenos (incisos C y D):
Aislamos el seno: $b \sin \theta = c - a \cos \theta$.
Elevamos al cuadrado: $b^2 (1 - \cos^2 \theta) = (c - a \cos \theta)^2$.
$b^2 - b^2 \cos^2 \theta = c^2 - 2ac \cos \theta + a^2 \cos^2 \theta$.
Reordenando como ecuación cuadrática en $\cos \theta$:
$(a^2 + b^2) \cos^2 \theta - 2ac \cos \theta + (c^2 - b^2) = 0$.
Por las relaciones de Vieta:
$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{2ac}{a^2 + b^2}$ (Q)
$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{c^2 - b^2}{a^2 + b^2}$ (P)
$$ \boxed{A \rightarrow S, B \rightarrow R, C \rightarrow Q, D \rightarrow P} $$
1. Para senos (incisos A y B):
Aislamos el coseno: $a \cos \theta = c - b \sin \theta$.
Elevamos al cuadrado: $a^2 (1 - \sin^2 \theta) = (c - b \sin \theta)^2$.
$a^2 - a^2 \sin^2 \theta = c^2 - 2bc \sin \theta + b^2 \sin^2 \theta$.
Reordenando como ecuación cuadrática en $\sin \theta$:
$(a^2 + b^2) \sin^2 \theta - 2bc \sin \theta + (c^2 - a^2) = 0$.
Por las relaciones de Vieta, si $\sin \alpha$ y $\sin \beta$ son raíces:
$\sin \alpha + \sin \beta = \frac{2bc}{a^2 + b^2}$ (S)
$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{c^2 - a^2}{a^2 + b^2}$ (R)
2. Para cosenos (incisos C y D):
Aislamos el seno: $b \sin \theta = c - a \cos \theta$.
Elevamos al cuadrado: $b^2 (1 - \cos^2 \theta) = (c - a \cos \theta)^2$.
$b^2 - b^2 \cos^2 \theta = c^2 - 2ac \cos \theta + a^2 \cos^2 \theta$.
Reordenando como ecuación cuadrática en $\cos \theta$:
$(a^2 + b^2) \cos^2 \theta - 2ac \cos \theta + (c^2 - b^2) = 0$.
Por las relaciones de Vieta:
$\cos \alpha + \cos \beta = \frac{2ac}{a^2 + b^2}$ (Q)
$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{c^2 - b^2}{a^2 + b^2}$ (P)
$$ \boxed{A \rightarrow S, B \rightarrow R, C \rightarrow Q, D \rightarrow P} $$