Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_645
Examen de admisión
Enunciado
Relacione las siguientes columnas considerando la propiedad: Si $A + B = \frac{\pi}{4}$ (o $45^{\circ}$), entonces el valor de $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 2$.
\begin{array}{ll}
Columna I & Columna II \\
\text{(A) El valor de } (1 + \tan 21^{\circ})(1 + \tan 22^{\circ})(1 + \tan 23^{\circ})(1 + \tan 24^{\circ}) \text{ es} & \text{(P) } 2 \\
\text{(B) El valor de } (1 + \tan 2058^{\circ})(1 - \tan 2013^{\circ}) \text{ es} & \text{(Q) } 4 \\
\text{(C) El valor de } \left( 1 + \tan \left( \frac{\pi}{8} - x \right) \right) \left( 1 + \tan \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \right) \text{ es} & \text{(R) } 8 \\
\text{(D) El valor de } (1 + \tan 235^{\circ})(1 - \tan 190^{\circ}) \text{ es} & \text{(S) } -8 \\
& \text{(T) } -4
\end{array}
\begin{array}{ll}
Columna I & Columna II \\
\text{(A) El valor de } (1 + \tan 21^{\circ})(1 + \tan 22^{\circ})(1 + \tan 23^{\circ})(1 + \tan 24^{\circ}) \text{ es} & \text{(P) } 2 \\
\text{(B) El valor de } (1 + \tan 2058^{\circ})(1 - \tan 2013^{\circ}) \text{ es} & \text{(Q) } 4 \\
\text{(C) El valor de } \left( 1 + \tan \left( \frac{\pi}{8} - x \right) \right) \left( 1 + \tan \left( x + \frac{\pi}{8} \right) \right) \text{ es} & \text{(R) } 8 \\
\text{(D) El valor de } (1 + \tan 235^{\circ})(1 - \tan 190^{\circ}) \text{ es} & \text{(S) } -8 \\
& \text{(T) } -4
\end{array}
Solución Paso a Paso
1. Propiedad Fundamental:
Partimos de la identidad para la suma de tangentes:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
Si $A+B = 45^{\circ}$, entonces $\tan(45^{\circ}) = 1$, lo que implica:
$1 - \tan A \tan B = \tan A + \tan B \implies 1 = \tan A + \tan B + \tan A \tan B$
Sumando 1 a ambos lados:
$2 = 1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B \implies 2 = (1 + \tan A)(1 + \tan B)$
2. Análisis de incisos:
$$ \boxed{A \rightarrow Q, B \rightarrow P, C \rightarrow P, D \rightarrow P} $$
Partimos de la identidad para la suma de tangentes:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
Si $A+B = 45^{\circ}$, entonces $\tan(45^{\circ}) = 1$, lo que implica:
$1 - \tan A \tan B = \tan A + \tan B \implies 1 = \tan A + \tan B + \tan A \tan B$
Sumando 1 a ambos lados:
$2 = 1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B \implies 2 = (1 + \tan A)(1 + \tan B)$
2. Análisis de incisos:
- (A): Agrupamos los términos cuyas sumas de ángulos den $45^{\circ}$:
$[(1 + \tan 21^{\circ})(1 + \tan 24^{\circ})] \cdot [(1 + \tan 22^{\circ})(1 + \tan 23^{\circ})]$
Como $21+24=45$ y $22+23=45$, cada corchete vale $2$.
$2 \cdot 2 = 4$. Corresponde a (Q). - (B): Reducimos ángulos: $2058^{\circ} \pmod{360^{\circ}} = 258^{\circ}$. $\tan(258^{\circ}) = \tan(258-180) = \tan 78^{\circ}$.
$2013^{\circ} \pmod{360^{\circ}} = 213^{\circ}$. $\tan(213^{\circ}) = \tan(213-180) = \tan 33^{\circ}$.
La expresión es $(1 + \tan 78^{\circ})(1 - \tan 33^{\circ})$. Notemos que $78 - 33 = 45$.
Si $A-B=45^{\circ}$, entonces $(1+\tan A)(1-\tan B) = 2$.
Resultado: $2$. Corresponde a (P). - (C): Sean $A = \frac{\pi}{8} - x$ y $B = x + \frac{\pi}{8}$.
$A + B = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Aplicando la propiedad: $(1+\tan A)(1+\tan B) = 2$. Corresponde a (P). - (D): $\tan 235^{\circ} = \tan(235-180) = \tan 55^{\circ}$.
$\tan 190^{\circ} = \tan(190-180) = \tan 10^{\circ}$.
La expresión es $(1 + \tan 55^{\circ})(1 - \tan 10^{\circ})$. Como $55 - 10 = 45$, el valor es $2$. Corresponde a (P).
$$ \boxed{A \rightarrow Q, B \rightarrow P, C \rightarrow P, D \rightarrow P} $$