Analizamos cada caso por separado:

Parte (A):
Sea $f(\theta) = \frac{7 + 6\tan\theta - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$. Usando las identidades $\frac{1}{1+\tan^2\theta} = \cos^2\theta$ y $\frac{\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$:
$$ \begin{aligned} f(\theta) &= 7\cos^2\theta + 6\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta \\ &= 7\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) + 3\sin 2\theta - \left(\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right) \\ &= \frac{7+7\cos 2\theta + 6\sin 2\theta - 1 + \cos 2\theta}{2} \\ &= 3 + 4\cos 2\theta + 3\sin 2\theta \end{aligned} $$
El valor máximo y mínimo de $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ es $\pm\sqrt{a^2+b^2}$. Aquí $\sqrt{4^2+3^2} = 5$.
Por lo tanto, $\lambda = 3+5=8$ y $\mu = 3-5=-2$.
Calculando las relaciones: $\lambda + \mu = 6$ (R) y $\lambda - \mu = 10$ (no está).

Parte (B):
Sea $g(\theta) = 5\cos\theta + 3(\cos\theta\cos\frac{\pi}{3} - \sin\theta\sin\frac{\pi}{3}) + 3 = 5\cos\theta + \frac{3}{2}\cos\theta - \frac{3\sqrt{3}}{2}\sin\theta + 3$.
$g(\theta) = \frac{13}{2}\cos\theta - \frac{3\sqrt{3}}{2}\sin\theta + 3$.
El rango de la parte variable es $\pm\sqrt{(\frac{13}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \pm\sqrt{\frac{169+27}{4}} = \pm\sqrt{49} = \pm 7$.
$\lambda = 3+7=10$, $\mu = 3-7=-4$.
Relación: $\lambda - \mu = 14$ (T).

Parte (C):
$h(\theta) = 1 + \sin(\frac{\pi}{4}+\theta) + 2\cos(\frac{\pi}{4}-\theta)$. Usando $\cos(\frac{\pi}{4}-\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4}-\theta)) = \sin(\frac{\pi}{4}+\theta)$:
$h(\theta) = 1 + 3\sin(\frac{\pi}{4}+\theta)$.
Rango de $\sin$ es $[-1, 1]$, entonces $\lambda = 1+3=4$ y $\mu = 1-3=-2$.
Relación: $\lambda + \mu = 2$ (P).

Resultado:
$$ \boxed{(A) \rightarrow R, (B) \rightarrow T, (C) \rightarrow P} $$