Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_626
JEE Advanced Exam
Enunciado
TIPO COMPRENSIÓN DE VÍNCULO (SOLO PARA EXAMEN JEE ADVANCED)
PASO I: El producto de cosenos con ángulos en progresión geométrica (G.P.) se define como:
$\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 2^2 \alpha \cdot \dots \cdot \cos 2^{n-1} \alpha$
$ = \begin{cases} \dfrac{\sin 2^n \alpha}{2^n \sin \alpha} & : \text{si } \alpha \neq n\pi \\ \dfrac{1}{2^n} & : \text{si } \alpha = \dfrac{\pi}{2^n + 1} \\ -\dfrac{1}{2^n} & : \text{si } \alpha = \dfrac{\pi}{2^n - 1} \end{cases}$, donde $n$ es un entero.
Sobre la base de la información anterior, responda la siguiente pregunta:
1. El valor de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)$ es:
(a) $-1/2$ (b) $1/2$ (c) $1/4$ (d) $1/8$
PASO I: El producto de cosenos con ángulos en progresión geométrica (G.P.) se define como:
$\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 2^2 \alpha \cdot \dots \cdot \cos 2^{n-1} \alpha$
$ = \begin{cases} \dfrac{\sin 2^n \alpha}{2^n \sin \alpha} & : \text{si } \alpha \neq n\pi \\ \dfrac{1}{2^n} & : \text{si } \alpha = \dfrac{\pi}{2^n + 1} \\ -\dfrac{1}{2^n} & : \text{si } \alpha = \dfrac{\pi}{2^n - 1} \end{cases}$, donde $n$ es un entero.
Sobre la base de la información anterior, responda la siguiente pregunta:
1. El valor de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)$ es:
(a) $-1/2$ (b) $1/2$ (c) $1/4$ (d) $1/8$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Debemos calcular el producto $P = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)$.
Observamos que $\cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$.
2. Transformación de la expresión:
Sustituyendo el término:
$P = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) \left[ -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) \right]$
$P = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)$
Esta expresión tiene la forma $\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 2^2 \alpha$ con $\alpha = \dfrac{\pi}{7}$ y $n = 3$.
3. Aplicación de la propiedad:
Según la información del Passage I, para $\alpha = \dfrac{\pi}{2^n - 1}$:
Como $2^3 - 1 = 7$, entonces $\alpha = \dfrac{\pi}{7}$ cumple con la condición $\alpha = \dfrac{\pi}{2^n - 1}$ donde $n = 3$.
La propiedad indica que el producto es $-\dfrac{1}{2^n}$.
4. Cálculo final:
$P = - \left( -\dfrac{1}{2^3} \right)$ (Notar que el signo negativo exterior proviene de la transformación inicial de $\cos(6\pi/7)$).
$P = \dfrac{1}{8}$
$$ \boxed{1/8} $$
La opción correcta es (d).
Debemos calcular el producto $P = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right)$.
Observamos que $\cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{7}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right)$.
2. Transformación de la expresión:
Sustituyendo el término:
$P = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) \left[ -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) \right]$
$P = -\cos\left(\dfrac{\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)$
Esta expresión tiene la forma $\cos \alpha \cdot \cos 2\alpha \cdot \cos 2^2 \alpha$ con $\alpha = \dfrac{\pi}{7}$ y $n = 3$.
3. Aplicación de la propiedad:
Según la información del Passage I, para $\alpha = \dfrac{\pi}{2^n - 1}$:
Como $2^3 - 1 = 7$, entonces $\alpha = \dfrac{\pi}{7}$ cumple con la condición $\alpha = \dfrac{\pi}{2^n - 1}$ donde $n = 3$.
La propiedad indica que el producto es $-\dfrac{1}{2^n}$.
4. Cálculo final:
$P = - \left( -\dfrac{1}{2^3} \right)$ (Notar que el signo negativo exterior proviene de la transformación inicial de $\cos(6\pi/7)$).
$P = \dfrac{1}{8}$
$$ \boxed{1/8} $$
La opción correcta es (d).