Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_623
Propio
Enunciado
Paso 1:
Si el valor de la expresión $\sin(25^\circ) \sin(35^\circ) \sin(85^\circ)$ puede expresarse como $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{c}$ donde $a, b, c \in \mathbb{N}$ y están en su forma más simple, encuentre el valor de $\left( \frac{c}{a+b} + 2 \right)$.
Si el valor de la expresión $\sin(25^\circ) \sin(35^\circ) \sin(85^\circ)$ puede expresarse como $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{c}$ donde $a, b, c \in \mathbb{N}$ y están en su forma más simple, encuentre el valor de $\left( \frac{c}{a+b} + 2 \right)$.
Solución Paso a Paso
1. Transformación del producto:
Usamos la identidad $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$:
$$ \begin{aligned} \sin(25^\circ)\sin(35^\circ) &= \frac{1}{2}[\cos(10^\circ) - \cos(60^\circ)] = \frac{1}{2}[\cos(10^\circ) - \frac{1}{2}] \\ E &= \frac{1}{2}[\cos(10^\circ) - \frac{1}{2}] \sin(85^\circ) \\ E &= \frac{1}{2} \cos(10^\circ) \cos(5^\circ) - \frac{1}{4} \cos(5^\circ) \quad (\text{notar que } \sin(85^\circ) = \cos(5^\circ)) \end{aligned} $$
Utilizando $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$:
$$ E = \frac{1}{4}[\cos(15^\circ) + \cos(5^\circ)] - \frac{1}{4} \cos(5^\circ) = \frac{1}{4} \cos(15^\circ) $$
2. Valor de $\cos(15^\circ)$:
$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Sustituyendo:
$$ E = \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{16} $$
Por lo tanto: $a = 6$, $b = 2$, $c = 16$.
3. Cálculo final:
$$ \frac{c}{a+b} + 2 = \frac{16}{6+2} + 2 = \frac{16}{8} + 2 = 2 + 2 = 4 $$
$$ \boxed{4} $$
Usamos la identidad $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$:
$$ \begin{aligned} \sin(25^\circ)\sin(35^\circ) &= \frac{1}{2}[\cos(10^\circ) - \cos(60^\circ)] = \frac{1}{2}[\cos(10^\circ) - \frac{1}{2}] \\ E &= \frac{1}{2}[\cos(10^\circ) - \frac{1}{2}] \sin(85^\circ) \\ E &= \frac{1}{2} \cos(10^\circ) \cos(5^\circ) - \frac{1}{4} \cos(5^\circ) \quad (\text{notar que } \sin(85^\circ) = \cos(5^\circ)) \end{aligned} $$
Utilizando $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$:
$$ E = \frac{1}{4}[\cos(15^\circ) + \cos(5^\circ)] - \frac{1}{4} \cos(5^\circ) = \frac{1}{4} \cos(15^\circ) $$
2. Valor de $\cos(15^\circ)$:
$\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Sustituyendo:
$$ E = \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{16} $$
Por lo tanto: $a = 6$, $b = 2$, $c = 16$.
3. Cálculo final:
$$ \frac{c}{a+b} + 2 = \frac{16}{6+2} + 2 = \frac{16}{8} + 2 = 2 + 2 = 4 $$
$$ \boxed{4} $$