Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_620
Olimpiada Matemática
Enunciado
Paso 1:
Si $m = \sqrt{3} \csc(20^\circ) - \sec(20^\circ)$ y $n = \sin(12^\circ) \sin(48^\circ) \sin(54^\circ)$ donde $m, n \in N$ (Nota: se corregirá el valor de $n$ para que sea consistente con valores enteros requeridos en la expresión final), halle el valor de $(m + 8n + 2)$.
Si $m = \sqrt{3} \csc(20^\circ) - \sec(20^\circ)$ y $n = \sin(12^\circ) \sin(48^\circ) \sin(54^\circ)$ donde $m, n \in N$ (Nota: se corregirá el valor de $n$ para que sea consistente con valores enteros requeridos en la expresión final), halle el valor de $(m + 8n + 2)$.
Solución Paso a Paso
1. Cálculo de $m$:
$$ m = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Multiplicamos y dividimos por 2 en el numerador y por $\frac{2}{2}$ en el denominador:
$$ m = \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)} = \frac{2 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} $$
$$ m = \frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = 4 $$
2. Cálculo de $n$:
$$ n = \sin(12^\circ) \sin(48^\circ) \sin(54^\circ) $$
Usamos la identidad $\sin \theta \sin(60-\theta) \sin(60+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$.
Para $\theta = 12^\circ$: $\sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 72^\circ = \frac{1}{4} \sin 36^\circ$.
Entonces $\sin 12^\circ \sin 48^\circ = \frac{\sin 36^\circ}{4 \sin 72^\circ} = \frac{\sin 36^\circ}{4 (2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ)} = \frac{1}{8 \cos 36^\circ}$.
Sustituyendo en $n$:
$$ n = \frac{1}{8 \cos 36^\circ} \cdot \sin 54^\circ $$
Como $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$:
$$ n = \frac{1}{8 \cos 36^\circ} \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{8} $$
3. Cálculo de la expresión final:
Sustituimos $m = 4$ y $n = \frac{1}{8}$ en $(m + 8n + 2)$:
$$ 4 + 8\left(\frac{1}{8}\right) + 2 = 4 + 1 + 2 = 7 $$
$$ \boxed{7} $$
$$ m = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Multiplicamos y dividimos por 2 en el numerador y por $\frac{2}{2}$ en el denominador:
$$ m = \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)} = \frac{2 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} $$
$$ m = \frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = 4 $$
2. Cálculo de $n$:
$$ n = \sin(12^\circ) \sin(48^\circ) \sin(54^\circ) $$
Usamos la identidad $\sin \theta \sin(60-\theta) \sin(60+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$.
Para $\theta = 12^\circ$: $\sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 72^\circ = \frac{1}{4} \sin 36^\circ$.
Entonces $\sin 12^\circ \sin 48^\circ = \frac{\sin 36^\circ}{4 \sin 72^\circ} = \frac{\sin 36^\circ}{4 (2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ)} = \frac{1}{8 \cos 36^\circ}$.
Sustituyendo en $n$:
$$ n = \frac{1}{8 \cos 36^\circ} \cdot \sin 54^\circ $$
Como $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$:
$$ n = \frac{1}{8 \cos 36^\circ} \cdot \cos 36^\circ = \frac{1}{8} $$
3. Cálculo de la expresión final:
Sustituimos $m = 4$ y $n = \frac{1}{8}$ en $(m + 8n + 2)$:
$$ 4 + 8\left(\frac{1}{8}\right) + 2 = 4 + 1 + 2 = 7 $$
$$ \boxed{7} $$