1. Datos del problema y propiedades:
Se indica que $\cos(x - y)$, $\cos x$ y $\cos(x + y)$ están en Progresión Armónica. Por definición, si $a, b, c$ están en H.P, entonces:
$$ b = \frac{2ac}{a + c} $$

En este caso:
$$ \cos x = \frac{2 \cos(x - y) \cos(x + y)}{\cos(x - y) + \cos(x + y)} $$

2. Aplicación de identidades trigonométricas:
Usamos las identidades de producto a suma y suma a producto:

• Numerador: $2 \cos(x - y) \cos(x + y) = \cos(2x) + \cos(2y)$ (o también $\cos^2 x - \sin^2 y$)


• Denominador: $\cos(x - y) + \cos(x + y) = 2 \cos x \cos y$

Sustituyendo en la relación de la progresión:
$$ \cos x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 y}{\cos x \cos y} $$
$$ \cos^2 x \cos y = \cos^2 x - \sin^2 y $$

3. Despeje de la relación para $m$:
Dividimos toda la ecuación por $\cos^2 x$:
$$ \cos y = 1 - \frac{\sin^2 y}{\cos^2 x} $$
$$ \frac{\sin^2 y}{\cos^2 x} = 1 - \cos y $$

Usamos la identidad del ángulo mitad $1 - \cos y = 2 \sin^2\left(\frac{y}{2}\right)$ y la identidad del ángulo doble $\sin y = 2 \sin\left(\frac{y}{2}\right) \cos\left(\frac{y}{2}\right)$:
$$ \frac{\left[ 2 \sin\left(\frac{y}{2}\right) \cos\left(\frac{y}{2}\right) \right]^2}{\cos^2 x} = 2 \sin^2\left(\frac{y}{2}\right) $$
$$ \frac{4 \sin^2\left(\frac{y}{2}\right) \cos^2\left(\frac{y}{2}\right)}{\cos^2 x} = 2 \sin^2\left(\frac{y}{2}\right) $$

Simplificando $\sin^2\left(\frac{y}{2}\right)$ (asumiendo que no es cero):
$$ \frac{2 \cos^2\left(\frac{y}{2}\right)}{\cos^2 x} = 1 \implies \frac{\cos^2\left(\frac{y}{2}\right)}{\cos^2 x} = \frac{1}{2} $$

4. Cálculo de $m^2 + 2$:
El dato del problema es $m = \left| \sec x \cdot \cos\left(\frac{y}{2}\right) \right|$, por lo tanto:
$$ m^2 = \sec^2 x \cdot \cos^2\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\cos^2\left(\frac{y}{2}\right)}{\cos^2 x} $$
De la resolución anterior, tenemos que $m^2 = \frac{1}{2}$.
Finalmente:
$$ m^2 + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} $$

$$ \boxed{2.5} $$