1. Datos y análisis inicial:
La expresión solicitada es una sumatoria de términos que involucran funciones trigonométricas y la unidad imaginaria $i$. Observamos que el argumento es $\frac{2k\pi}{7}$.

2. Propiedades a utilizar:
Utilizaremos la forma exponencial de los números complejos (Fórmula de Euler):
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.
Notemos que el término general de la suma se puede reescribir:
$$ \sin\theta - i\cos\theta = -i(\cos\theta + i\sin\theta) = -i e^{i\theta} $$
donde $\theta = \frac{2k\pi}{7}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $S$ la suma buscada:
$$ S = \sum_{k=1}^{6} -i e^{i\frac{2k\pi}{7}} = -i \sum_{k=1}^{6} e^{i\frac{2k\pi}{7}} $$
Definamos $\alpha = e^{i\frac{2\pi}{7}}$. Entonces la suma es:
$$ S = -i (\alpha^1 + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6) $$
Esta es una progresión geométrica finita. Sabemos que las raíces séptimas de la unidad cumplen:
$$ 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 + \alpha^5 + \alpha^6 = 0 $$
Por lo tanto:
$$ \sum_{k=1}^{6} \alpha^k = -1 $$
Sustituyendo este valor en nuestra expresión para $S$:
$$ S = -i (-1) = i $$

4. Conclusión:
El valor de la sumatoria es $i$.
$$ \boxed{i} $$