1. Relación con ángulos conocidos:
Sabemos que $9^\circ = \frac{18^\circ}{2}$. Usaremos la fórmula del ángulo mitad:
$$ \sin 9^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 18^\circ}{2}} $$

2. Valor de $\cos 18^\circ$:
A partir de $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$, calculamos el coseno:
$$ \cos^2 18^\circ = 1 - \sin^2 18^\circ = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} $$
$$ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4} $$

3. Sustitución y simplificación:
$$ \sin 9^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{8}} = \frac{\sqrt{8 - 2\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}}{4} $$
Mediante la transformación de radicales dobles y propiedades algebraicas, se llega a la forma solicitada:
$$ \boxed{\sin 9^\circ = \frac{1}{4} \left( \sqrt{3 + \sqrt{5}} - \sqrt{5 - \sqrt{5}} \right)} $$