1. Análisis de la condición inicial:
Si $\cos(x - y) = -1$, el ángulo $(x - y)$ debe ser un múltiplo impar de $\pi$:
$$ x - y = (2k + 1)\pi \implies x = y + \pi + 2k\pi $$

2. Evaluación de las funciones para $x$:
Usamos las identidades de reducción al primer cuadrante:
$$ \cos x = \cos(y + \pi) = -\cos y \implies \cos x + \cos y = 0 $$
$$ \sin x = \sin(y + \pi) = -\sin y \implies \sin x + \sin y = 0 $$

3. Conclusión:
Ambas igualdades se cumplen simultáneamente bajo la condición dada.
$$ \boxed{\cos x + \cos y = 0 \quad \text{y} \quad \sin x + \sin y = 0} $$