Para demostrar la igualdad, analizaremos el primer término de la expresión y buscaremos una forma simétrica. Dado que $A + B + C = \pi$, se cumple que $\sin A = \sin(B + C)$.

1. Transformación del primer término:
Sea $E_1 = \cot A + \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$. Expresamos la cotangente en términos de seno y coseno:
$$ E_1 = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin B \sin C} = \frac{\cos A \sin B \sin C + \sin^2 A}{\sin A \sin B \sin C} $$

2. Uso de la condición $A = \pi - (B+C)$:
Sabemos que $\cos A = \cos(\pi - (B+C)) = -\cos(B+C)$. Sustituimos:
$$ E_1 = \frac{-\cos(B+C) \sin B \sin C + \sin^2 A}{\sin A \sin B \sin C} $$
Usando la identidad $\cos(B+C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$:
$$ E_1 = \frac{-(\cos B \cos C - \sin B \sin C) \sin B \sin C + \sin^2 A}{\sin A \sin B \sin C} $$
$$ E_1 = \frac{-\cos B \cos C \sin B \sin C + \sin^2 B \sin^2 C + \sin^2 A}{\sin A \sin B \sin C} $$

3. Simplificación mediante simetría:
Una forma más sencilla es notar que:
$$ \frac{\sin A}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B+C)}{\sin B \sin C} = \frac{\sin B \cos C + \cos B \sin C}{\sin B \sin C} = \cot C + \cot B $$
Sustituyendo esto en la expresión original:
$$ \cot A + (\cot B + \cot C) = \cot A + \cot B + \cot C $$

Debido a que la suma $\cot A + \cot B + \cot C$ es simétrica para las tres variables bajo la condición dada, se cumple que:
$$ \cot A + \frac{\sin A}{\sin B \sin C} = \cot B + \frac{\sin B}{\sin A \sin C} = \cot C + \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \sum \cot A $$
$$ \boxed{\text{Q.E.D.}} $$