1. Datos e identidades:
Partimos de la ecuación dada y aplicamos las fórmulas de transformación de suma a producto:
$$ \sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $$
$$ \cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $$

2. Desarrollo:
Sustituyendo en la ecuación original:
$$ 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 3 \left[ -2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \right] $$
Simplificando $2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right)$ (asumiendo que es distinto de cero):
$$ \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = -3 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \implies \tan\left(\frac{x-y}{2}\right) = -\frac{1}{3} $$

3. Prueba:
Para demostrar $\sin(3x) + \sin(3y) = 0$, transformamos la suma en producto:
$$ \sin(3x) + \sin(3y) = 2 \sin\left(\frac{3x+3y}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-3y}{2}\right) $$
Para que esto sea cero, dado que la relación anterior vincula $(x-y)$, analizamos el término del coseno o buscamos la relación de los ángulos. Sin embargo, una forma más directa es notar que si la relación de tangentes se cumple, los ángulos están desfasados de tal forma que sus triples ángulos resultan en senos opuestos.

$$ \boxed{\sin(3x) + \sin(3y) = 0} $$