1. Condición de ángulos de un triángulo:
$A + B + C = \pi$. Como $A = \pi/4$, entonces $B + C = 3\pi/4$.
Además, como son ángulos de un triángulo: $B > 0, C > 0$ y $B, C < 3\pi/4$.

2. Aplicación de la tangente:
$\tan(B+C) = \tan(3\pi/4) = -1$.
$$ \frac{\tan B + \tan C}{1 - \tan B \tan C} = -1 \implies \frac{\tan B + \tan C}{1 - p} = -1 \implies \tan B + \tan C = p - 1 $$

3. Ecuación cuadrática:
$\tan B$ y $\tan C$ son raíces de la ecuación:
$$ x^2 - (p-1)x + p = 0 $$
Para que $B$ y $C$ existan y sean reales, el discriminante $D \geq 0$:
$$ (p-1)^2 - 4p \geq 0 \implies p^2 - 2p + 1 - 4p \geq 0 \implies p^2 - 6p + 1 \geq 0 $$
Raíces de $p^2 - 6p + 1 = 0$: $p = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
Entonces $p \leq 3 - 2\sqrt{2}$ o $p \geq 3 + 2\sqrt{2}$.
Sin embargo, en un triángulo con $B+C = 135^\circ$, al menos uno puede ser obtuso. Analizando la suma y producto, para que $B, C > 0$ y su suma sea $135^\circ$, sus tangentes deben cumplir que si ambos son agudos $p > 1$, si uno es obtuso $p < 0$.
Revisando la condición de existencia de ángulos positivos, se concluye:
$$ \boxed{p \in (-\infty, 3-2\sqrt{2}] \cup [3+2\sqrt{2}, \infty)} $$