1. Datos y propiedades:
Sea $\theta = \frac{k\pi}{7}$ para $k=1, 2, 3$. Consideramos la ecuación $\tan(7\theta) = 0$.
Usando la fórmula de De Moivre para $\tan(n\theta)$, sabemos que para $n=7$:
$$ \tan(7\theta) = \frac{\binom{7}{1}\tan\theta - \binom{7}{3}\tan^3\theta + \binom{7}{5}\tan^5\theta - \binom{7}{7}\tan^7\theta}{1 - \binom{7}{2}\tan^2\theta + \binom{7}{4}\tan^4\theta - \binom{7}{6}\tan^6\theta} $$
Para $\tan(7\theta) = 0$ con $\theta \neq \frac{n\pi}{2}$, el numerador debe ser cero:
$$ 7\tan\theta - 35\tan^3\theta + 21\tan^5\theta - \tan^7\theta = 0 $$
Dividiendo por $\tan\theta$ (ya que $\tan\theta \neq 0$ para $k=1,2,3$):
$$ \tan^6\theta - 21\tan^4\theta + 35\tan^2\theta - 7 = 0 $$

2. Desarrollo:
Sea $x = \tan^2\theta$. Las raíces de la ecuación $x^3 - 21x^2 + 35x - 7 = 0$ son $x_1 = \tan^2(\pi/7)$, $x_2 = \tan^2(2\pi/7)$ y $x_3 = \tan^2(3\pi/7)$.
Por relaciones de Cardano-Vieta:

• $\sum \tan^2\left(\frac{k\pi}{7}\right) = x_1 + x_2 + x_3 = 21$
• $\sum x_i x_j = 35$
• $x_1 x_2 x_3 = 7$

Para las cotangentes, sea $y = \cot^2\theta = 1/x$. La ecuación para $y$ se obtiene invirtiendo los coeficientes:
$$ 7y^3 - 35y^2 + 21y - 1 = 0 \implies y^3 - 5y^2 + 3y - \frac{1}{7} = 0 $$
Entonces:

• $\sum \cot^2\left(\frac{k\pi}{7}\right) = y_1 + y_2 + y_3 = 5$

3. Resultado:
Multiplicamos ambas sumas:
$$ 21 \times 5 = 105 $$
$$ \boxed{105 = 105} $$