1. Datos del problema:
Producto de cosenos con ángulos duplicados: $P = \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta)$.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad del producto de cosenos:
$$ \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Multiplicamos el producto por $2^n$ como indica el problema:
$$ E = 2^n \left( \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta} \right) = \frac{\sin(2^n \theta)}{\sin \theta} $$

Usamos el dato $\theta = \frac{\pi}{2^n - 1} \implies (2^n - 1)\theta = \pi \implies 2^n \theta = \pi + \theta$.
Sustituimos en la expresión:
$$ E = \frac{\sin(\pi + \theta)}{\sin \theta} $$
Por reducción al primer cuadrante: $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$.
$$ E = \frac{-\sin \theta}{\sin \theta} = -1 $$

4. Conclusión:
Se cumple la igualdad para el valor dado de $\theta$.
$$ \boxed{-1} $$