1. Datos del problema:
Se nos pide simplificar una serie de productos de tangentes de la forma $T_k = \tan(kx) \tan(k+1)x$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la identidad de la diferencia de tangentes:
$$ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $$
De aquí, podemos despejar el producto:
$$ 1 + \tan A \tan B = \frac{\tan A - \tan B}{\tan(A - B)} $$
$$ \tan A \tan B = \frac{\tan A - \tan B}{\tan(A - B)} - 1 $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sea el término general $T_k = \tan(kx) \tan(k+1)x$. Aplicando la identidad anterior con $A = (k+1)x$ y $B = kx$, notamos que $A - B = x$:
$$ \tan(k+1)x \tan(kx) = \frac{\tan(k+1)x - \tan kx}{\tan x} - 1 $$
Multiplicando por $\cot x = \frac{1}{\tan x}$:
$$ T_k = \cot x \left( \tan(k+1)x - \tan kx \right) - 1 $$

Ahora, sumamos desde $k=1$ hasta $n$:
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left[ \cot x (\tan(k+1)x - \tan kx) - 1 \right] $$
$$ S_n = \cot x \sum_{k=1}^{n} (\tan(k+1)x - \tan kx) - \sum_{k=1}^{n} 1 $$

La primera parte es una serie telescópica:
$$ \sum_{k=1}^{n} (\tan(k+1)x - \tan kx) = (\tan 2x - \tan x) + (\tan 3x - \tan 2x) + \dots + (\tan(n+1)x - \tan nx) $$
$$ = \tan(n+1)x - \tan x $$

Sustituyendo en la suma total:
$$ S_n = \cot x (\tan(n+1)x - \tan x) - n $$
$$ S_n = \cot x \tan(n+1)x - \cot x \tan x - n $$
Como $\cot x \tan x = 1$:
$$ S_n = \cot x \tan(n+1)x - 1 - n $$
$$ S_n = \cot x \tan(n+1)x - (n + 1) $$

4. Conclusión:
Se ha verificado la identidad propuesta.
$$ \boxed{\tan x \tan 2x + \dots + \tan nx \tan (n+1)x = \cot x \tan(n+1)x - (n+1)} $$