1. Datos:
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}$.
Intervalo: $\theta \in [0, \pi]$.

2. Elevando al cuadrado:
$$ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left( \frac{1}{5} \right)^2 $$
$$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{25} $$
$$ 1 + \sin(2\theta) = \frac{1}{25} \implies \sin(2\theta) = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25} $$

3. Hallando $\cos(2\theta)$:
Como $\sin(2\theta)$ es negativo y $\theta \in [0, \pi] \implies 2\theta \in [0, 2\pi]$, $2\theta$ debe estar en el III o IV cuadrante.
Sin embargo, dado que $\sin \theta + \cos \theta = 1/5$ (positivo), el ángulo no puede estar en el III cuadrante ($\sin, \cos$ ambos negativos). Por lo tanto, $\theta$ debe estar en el II cuadrante (donde $\sin$ es positivo y $\cos$ negativo, y $|\cos \theta| > |\sin \theta|$).
Calculamos $\cos(2\theta) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(2\theta)}$:
$$ \cos(2\theta) = \pm\sqrt{1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2} = \pm\sqrt{\frac{625 - 576}{625}} = \pm\frac{7}{25} $$
En el II cuadrante, $\cos \theta < 0$ y $\sin \theta > 0$, con $\theta$ más cerca de $\pi$. Probamos $\cos(2\theta) = -7/25$.

4. Uso de identidades de ángulo mitad para tangente:
$$ \tan \theta = \frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)} = \frac{-24/25}{1 - 7/25} = \frac{-24/25}{18/25} = -\frac{24}{18} = -\frac{4}{3} $$
Alternativamente:
$$ \tan \theta = \frac{\sin(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)} = \frac{-24/25}{1 + 7/25} = \frac{-24/25}{32/25} = -\frac{24}{32} = -\frac{3}{4} $$

Verificamos con el dato original $\sin \theta + \cos \theta = 1/5$.
Si $\tan \theta = -4/3 \implies \sin \theta = 4/5, \cos \theta = -3/5$.
Suma: $4/5 - 3/5 = 1/5$. (Correcto).
Si $\tan \theta = -3/4 \implies \sin \theta = 3/5, \cos \theta = -4/5$.
Suma: $3/5 - 4/5 = -1/5$. (Incorrecto).

$$ \boxed{-4/3} $$
La respuesta correcta es el inciso (d).