Para resolver este problema, utilizaremos la identidad de la tangente del ángulo mitad y la relación con el seno.

1. Datos del problema:
$$ \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{a}{b} $$

2. Propiedades útiles:
Recordemos la identidad:
$$ \tan\left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} $$
Y la expresión del seno en función de la tangente del ángulo mitad ($t = \tan(\theta/2)$):
$$ \sin(\theta) = \frac{2t}{1 + t^2} $$
También es útil la propiedad de proporciones (componendo y dividendo):
Si $\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$, entonces $\frac{u-v}{u+v} = \frac{a-b}{a+b}$.

3. Desarrollo:
Sea $t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$, entonces:
$$ \left( \frac{1+t}{1-t} \right)^2 = \frac{a}{b} \implies \frac{1 + 2t + t^2}{1 - 2t + t^2} = \frac{a}{b} $$
Aplicando la propiedad de proporciones:
$$ \frac{(1 + 2t + t^2) - (1 - 2t + t^2)}{(1 + 2t + t^2) + (1 - 2t + t^2)} = \frac{a - b}{a + b} $$
Simplificando el numerador y el denominador:
$$ \frac{4t}{2(1 + t^2)} = \frac{a - b}{a + b} \implies \frac{2t}{1 + t^2} = \frac{a - b}{a + b} $$
Dado que $\frac{2t}{1 + t^2} = \sin(\theta)$, obtenemos:
$$ \boxed{\sin(\theta) = \frac{a - b}{a + b}} $$
La respuesta correcta es la (a).