1. Datos del problema:
Se busca simplificar la expresión: $E = (4 + \sec 20^\circ)\sin 20^\circ$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Relación recíproca: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$


• Ángulo doble: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$


• Identidad de transformación o producto: $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$


• Valor notable: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, expresamos la secante en términos de coseno:
$$ E = \left( 4 + \frac{1}{\cos 20^\circ} \right) \sin 20^\circ $$
Realizamos la suma de fracciones dentro del paréntesis:
$$ E = \left( \frac{4\cos 20^\circ + 1}{\cos 20^\circ} \right) \sin 20^\circ = \frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} $$
Aplicamos la identidad del ángulo doble ($2\sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin 40^\circ$):
$$ E = \frac{2(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) + \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} $$
Descomponemos $2\sin 40^\circ$ como $\sin 40^\circ + \sin 40^\circ$:
$$ E = \frac{\sin 40^\circ + \sin 40^\circ + \sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} $$
Usamos la suma de senos: $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ para $\sin 40^\circ + \sin 20^\circ$:
$$ \sin 40^\circ + \sin 20^\circ = 2\sin 30^\circ \cos 10^\circ = 2\left(\frac{1}{2}\right)\cos 10^\circ = \cos 10^\circ $$
Sustituimos en la expresión:
$$ E = \frac{\sin 40^\circ + \cos 10^\circ}{\cos 20^\circ} $$
Como $\cos 10^\circ = \sin 80^\circ$ (ángulos complementarios):
$$ E = \frac{\sin 40^\circ + \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{2\sin 60^\circ \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} $$
Simplificamos $\cos 20^\circ$:
$$ E = 2\sin 60^\circ = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sqrt{3} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\sqrt{3}} $$
La respuesta correcta es el inciso (c).