1. Datos y fórmulas:

• Expresión: $E = 4 \cos 20^\circ - \sqrt{3} \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$
• Identidad: $\sqrt{3} = \tan 60^\circ = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$
• Producto de senos y cosenos: $2 \sin A \cos A = \sin 2A$

2. Desarrollo paso a paso:
Primero, expresamos todo en términos de $\sin$ y $\cos$:
$$ E = \frac{4 \cos 20^\circ \sin 20^\circ - \sqrt{3} \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} $$
Factorizamos $\cos 20^\circ$ y aplicamos $4 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = 2 \sin 40^\circ$:
$$ E = \frac{2 \sin 40^\circ - \sqrt{3} \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} $$
Sustituimos $\sqrt{3} = 2 \sin 60^\circ$:
$$ E = \frac{2 \sin 40^\circ - 2 \sin 60^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} $$
Usamos la identidad de producto a suma $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$:
$$ 2 \sin 60^\circ \cos 20^\circ = \sin(60^\circ + 20^\circ) + \sin(60^\circ - 20^\circ) = \sin 80^\circ + \sin 40^\circ $$
Sustituimos en la expresión:
$$ E = \frac{2 \sin 40^\circ - (\sin 80^\circ + \sin 40^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 40^\circ - \sin 80^\circ}{\sin 20^\circ} $$
Usamos la transformación de diferencia de senos $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$:
$$ \sin 40^\circ - \sin 80^\circ = 2 \cos 60^\circ \sin(-20^\circ) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) (-\sin 20^\circ) = -\sin 20^\circ $$
Finalmente:
$$ E = \frac{-\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = -1 $$

$$ \boxed{\text{(b) } -1} $$