Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_559
Examen de admisión
Enunciado
El valor máximo de $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \cos \alpha_3 \dots \cos \alpha_n$ bajo la restricción $0 \le \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \le \frac{\pi}{2}$ y $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdot \dots \cdot \cot \alpha_n = 1$, es:
(a) $\frac{1}{2^{n/2}}$ (b) $\frac{1}{2^n}$ (c) $\frac{1}{2^n}$ (d) $1$
(a) $\frac{1}{2^{n/2}}$ (b) $\frac{1}{2^n}$ (c) $\frac{1}{2^n}$ (d) $1$
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la restricción:
Se nos da que $\prod_{i=1}^n \cot \alpha_i = 1$. Esto implica:
$$ \prod_{i=1}^n \frac{\cos \alpha_i}{\sin \alpha_i} = 1 \implies \prod_{i=1}^n \cos \alpha_i = \prod_{i=1}^n \sin \alpha_i $$
Sea $P = \prod_{i=1}^n \cos \alpha_i$. Entonces, por la relación anterior, $P = \prod_{i=1}^n \sin \alpha_i$.
2. Multiplicación de productos:
$$ P^2 = \left( \prod_{i=1}^n \cos \alpha_i \right) \left( \prod_{i=1}^n \sin \alpha_i \right) = \prod_{i=1}^n (\sin \alpha_i \cos \alpha_i) $$
Usando la identidad del ángulo doble $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$:
$$ P^2 = \prod_{i=1}^n \frac{\sin(2\alpha_i)}{2} = \frac{1}{2^n} \prod_{i=1}^n \sin(2\alpha_i) $$
3. Maximización:
Para maximizar $P^2$ (y por ende $P$), debemos maximizar $\prod \sin(2\alpha_i)$. El valor máximo de $\sin(2\alpha_i)$ es 1, lo cual ocurre cuando $2\alpha_i = \pi/2 \implies \alpha_i = \pi/4$.
Si todos los $\alpha_i = \pi/4$, entonces $\cot(\pi/4) = 1$, cumpliendo la restricción $1^n = 1$.
$$ P^2_{max} = \frac{1}{2^n} (1)^n = \frac{1}{2^n} $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ P_{max} = \sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}} $$
$$ \boxed{\frac{1}{2^{n/2}}} $$
Se nos da que $\prod_{i=1}^n \cot \alpha_i = 1$. Esto implica:
$$ \prod_{i=1}^n \frac{\cos \alpha_i}{\sin \alpha_i} = 1 \implies \prod_{i=1}^n \cos \alpha_i = \prod_{i=1}^n \sin \alpha_i $$
Sea $P = \prod_{i=1}^n \cos \alpha_i$. Entonces, por la relación anterior, $P = \prod_{i=1}^n \sin \alpha_i$.
2. Multiplicación de productos:
$$ P^2 = \left( \prod_{i=1}^n \cos \alpha_i \right) \left( \prod_{i=1}^n \sin \alpha_i \right) = \prod_{i=1}^n (\sin \alpha_i \cos \alpha_i) $$
Usando la identidad del ángulo doble $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$:
$$ P^2 = \prod_{i=1}^n \frac{\sin(2\alpha_i)}{2} = \frac{1}{2^n} \prod_{i=1}^n \sin(2\alpha_i) $$
3. Maximización:
Para maximizar $P^2$ (y por ende $P$), debemos maximizar $\prod \sin(2\alpha_i)$. El valor máximo de $\sin(2\alpha_i)$ es 1, lo cual ocurre cuando $2\alpha_i = \pi/2 \implies \alpha_i = \pi/4$.
Si todos los $\alpha_i = \pi/4$, entonces $\cot(\pi/4) = 1$, cumpliendo la restricción $1^n = 1$.
$$ P^2_{max} = \frac{1}{2^n} (1)^n = \frac{1}{2^n} $$
Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ P_{max} = \sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}} $$
$$ \boxed{\frac{1}{2^{n/2}}} $$