Sea la función $f(\theta) = \cos^2(\cos\theta) + \sin^2(\sin\theta)$.

1. Uso de identidades fundamentales:
Sabemos que $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Aplicamos esto al primer término:
$$ f(\theta) = (1 - \sin^2(\cos\theta)) + \sin^2(\sin\theta) = 1 + \sin^2(\sin\theta) - \sin^2(\cos\theta) $$

2. Análisis de los rangos:
Sabemos que para cualquier $\theta \in \mathbb{R}$, el rango de $\sin\theta$ y $\cos\theta$ es $[-1, 1]$.
Dado que la función $\sin^2(x)$ es creciente en el intervalo $[0, 1]$, el valor de $\sin^2(\sin\theta)$ será máximo cuando $|\sin\theta|$ sea máximo, es decir, cuando $\sin^2\theta = 1$ (lo que implica $\cos\theta = 0$).

3. Evaluación del máximo:
Si $\sin^2\theta = 1$, entonces $\sin\theta = 1$ o $-1$, y $\cos\theta = 0$.
Sustituyendo en la expresión original:
$$ f(\theta)_{max} = \cos^2(0) + \sin^2(1) = 1 + \sin^2 1 $$
Si probamos con el caso opuesto, donde $\cos^2\theta = 1$ (y $\sin\theta = 0$):
$$ f(\theta) = \cos^2(1) + \sin^2(0) = \cos^2 1 < 1 + \sin^2 1 $$
Por lo tanto, el valor máximo es $1 + \sin^2 1$.

$$ \boxed{1 + \sin^2 1} $$