Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_553
Examen de admisión
Enunciado
El valor de $\tan\left(\frac{\pi}{7}\right)\tan\left(\frac{2\pi}{7}\right)\tan\left(\frac{3\pi}{7}\right)$ es:
(a) 1 (b) $1/\sqrt{7}$ (c) $\sqrt{7}$ (d) Ninguno.
(a) 1 (b) $1/\sqrt{7}$ (c) $\sqrt{7}$ (d) Ninguno.
Solución Paso a Paso
1. Identidad de producto de tangentes:
Para $n$ impar, se conoce la identidad:
$$ \prod_{k=1}^{(n-1)/2} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \sqrt{n} $$
En este caso, $n = 7$, por lo que $(n-1)/2 = 3$.
La expresión es:
$$ P = \tan\left(\frac{\pi}{7}\right)\tan\left(\frac{2\pi}{7}\right)\tan\left(\frac{3\pi}{7}\right) $$
Aplicando la fórmula directa:
$$ P = \sqrt{7} $$
$$ \boxed{\sqrt{7}} $$
Para $n$ impar, se conoce la identidad:
$$ \prod_{k=1}^{(n-1)/2} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \sqrt{n} $$
En este caso, $n = 7$, por lo que $(n-1)/2 = 3$.
La expresión es:
$$ P = \tan\left(\frac{\pi}{7}\right)\tan\left(\frac{2\pi}{7}\right)\tan\left(\frac{3\pi}{7}\right) $$
Aplicando la fórmula directa:
$$ P = \sqrt{7} $$
$$ \boxed{\sqrt{7}} $$