Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_550
Examen de admisión
Enunciado
Si $a = \sin\left(\frac{\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{18}\right)\sin\left(\frac{7\pi}{18}\right)$ y $x$ es la solución de la ecuación $y = 2[x] + 2$ y $y = 3[x-2]$, donde $[,]$ representa la función Máximo Entero (G.I.F.), entonces $a$ es:
(a) $[x]$ (b) $1/[x]$ (c) $2[x]$ (d) $[x]^2$.
(a) $[x]$ (b) $1/[x]$ (c) $2[x]$ (d) $[x]^2$.
Solución Paso a Paso
1. Cálculo de $a$:
La expresión es $a = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
Usando la identidad $\sin \theta \sin(60^\circ-\theta) \sin(60^\circ+\theta) = \frac{1}{4}\sin 3\theta$:
Para $\theta = 10^\circ$:
$$ a = \sin 10^\circ \sin(60^\circ-10^\circ) \sin(60^\circ+10^\circ) = \frac{1}{4}\sin(3 \cdot 10^\circ) = \frac{1}{4}\sin 30^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$
2. Resolución de la ecuación para $x$:
Dadas: $y = 2[x] + 2$ y $y = 3[x-2]$.
Por propiedad de G.I.F: $[x-k] = [x]-k$ si $k \in \mathbb{Z}$.
$$ 2[x] + 2 = 3([x] - 2) \implies 2[x] + 2 = 3[x] - 6 \implies [x] = 8 $$
Sustituyendo el valor de $[x]$ en la relación con $a$:
Como $a = 1/8$ y $[x] = 8$, entonces $a = 1/[x]$.
$$ \boxed{1/[x]} $$
La expresión es $a = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
Usando la identidad $\sin \theta \sin(60^\circ-\theta) \sin(60^\circ+\theta) = \frac{1}{4}\sin 3\theta$:
Para $\theta = 10^\circ$:
$$ a = \sin 10^\circ \sin(60^\circ-10^\circ) \sin(60^\circ+10^\circ) = \frac{1}{4}\sin(3 \cdot 10^\circ) = \frac{1}{4}\sin 30^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$
2. Resolución de la ecuación para $x$:
Dadas: $y = 2[x] + 2$ y $y = 3[x-2]$.
Por propiedad de G.I.F: $[x-k] = [x]-k$ si $k \in \mathbb{Z}$.
$$ 2[x] + 2 = 3([x] - 2) \implies 2[x] + 2 = 3[x] - 6 \implies [x] = 8 $$
Sustituyendo el valor de $[x]$ en la relación con $a$:
Como $a = 1/8$ y $[x] = 8$, entonces $a = 1/[x]$.
$$ \boxed{1/[x]} $$