1. Datos del problema:
Se presenta una función $f(x)$ definida mediante un determinante de orden $3 \times 3$ que involucra funciones trigonométricas.

2. Propiedades a utilizar:

• Operaciones elementales de fila y columna en determinantes.


• Identidad fundamental: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.


• Rango de la función seno: $-1 \leq \sin \theta \leq 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para simplificar el determinante, realizamos las siguientes operaciones de fila:
$R_2 \to R_2 - R_1$
$R_3 \to R_3 - R_1$

$$ f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 2x \\ \sin^2 x - (1 + \sin^2 x) & (1 + \cos^2 x) - \cos^2 x & 4\sin 2x - 4\sin 2x \\ \sin^2 x - (1 + \sin^2 x) & \cos^2 x - \cos^2 x & (1 + 4\sin 2x) - 4\sin 2x \end{vmatrix} $$

Simplificando los términos:
$$ f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 2x \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

Ahora, expandimos por la tercera columna o simplificamos más. Hagamos $C_1 \to C_1 + C_2$:
$$ f(x) = \begin{vmatrix} 1 + \sin^2 x + \cos^2 x & \cos^2 x & 4\sin 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$$ f(x) = \begin{vmatrix} 2 & \cos^2 x & 4\sin 2x \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$

Expandiendo por la segunda fila (que tiene dos ceros):
$$ f(x) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4\sin 2x \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (4\sin 2x)(-1) $$
$$ f(x) = 2 + 4\sin 2x $$

4. Cálculo del valor máximo:
Sabemos que el valor máximo de $\sin 2x$ es $1$. Por lo tanto:
$$ f(x)_{max} = 2 + 4(1) = 6 $$

El valor máximo de la función es $6$.
$$ \boxed{6} $$