Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_542
Examen de Admisión
Enunciado
Si $A + B = \dfrac{\pi}{3}$ y $A, B > 0$, el valor máximo de $\tan A \cdot \tan B$ es:
(a) $1/3$ (b) $1$ (c) $1/2$ (d) $2/3$
(a) $1/3$ (b) $1$ (c) $1/2$ (d) $2/3$
Solución Paso a Paso
1. Planteamiento:
Queremos maximizar $f(A) = \tan A \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3} - A\right)$.
Por simetría, el máximo ocurre cuando $A = B$.
Si $A = B$, entonces $2A = \frac{\pi}{3} \implies A = \frac{\pi}{6}$ (es decir, $30^\circ$).
2. Cálculo del valor:
Sustituimos $A = 30^\circ$ y $B = 30^\circ$:
$$ \tan(30^\circ) \cdot \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} $$
3. Verificación:
Si usamos la fórmula de la tangente de la resta:
$$ \tan A \cdot \frac{\sqrt{3} - \tan A}{1 + \sqrt{3}\tan A} $$
Derivando e igualando a cero se confirma que el máximo ocurre en $A = \pi/6$.
$$ \boxed{1/3} $$
Queremos maximizar $f(A) = \tan A \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3} - A\right)$.
Por simetría, el máximo ocurre cuando $A = B$.
Si $A = B$, entonces $2A = \frac{\pi}{3} \implies A = \frac{\pi}{6}$ (es decir, $30^\circ$).
2. Cálculo del valor:
Sustituimos $A = 30^\circ$ y $B = 30^\circ$:
$$ \tan(30^\circ) \cdot \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} $$
3. Verificación:
Si usamos la fórmula de la tangente de la resta:
$$ \tan A \cdot \frac{\sqrt{3} - \tan A}{1 + \sqrt{3}\tan A} $$
Derivando e igualando a cero se confirma que el máximo ocurre en $A = \pi/6$.
$$ \boxed{1/3} $$