Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_537
Examen de Admisión
Enunciado
Si $\sec x + \cos x = 2$, calcule el valor de $\sec^3 x (1 + \sec^3 x) + \cos^3 x (1 + \cos^3 x)$.
(a) $2$ (b) $4$ (c) $6$ (d) $8$
(a) $2$ (b) $4$ (c) $6$ (d) $8$
Solución Paso a Paso
1. Análisis del dato:
Sabemos que $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Sea $u = \cos x$, entonces:
$$ \frac{1}{u} + u = 2 \implies 1 + u^2 = 2u \implies u^2 - 2u + 1 = 0 $$
Esto es $(u-1)^2 = 0$, por lo tanto $u = 1$.
Esto implica que $\cos x = 1$ y $\sec x = 1$.
2. Sustitución en la expresión:
Sustituimos $\sec x = 1$ y $\cos x = 1$ en la expresión objetivo:
$$ E = 1^3(1 + 1^3) + 1^3(1 + 1^3) $$
$$ E = 1(2) + 1(2) = 2 + 2 = 4 $$
$$ \boxed{4} $$
Sabemos que $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Sea $u = \cos x$, entonces:
$$ \frac{1}{u} + u = 2 \implies 1 + u^2 = 2u \implies u^2 - 2u + 1 = 0 $$
Esto es $(u-1)^2 = 0$, por lo tanto $u = 1$.
Esto implica que $\cos x = 1$ y $\sec x = 1$.
2. Sustitución en la expresión:
Sustituimos $\sec x = 1$ y $\cos x = 1$ en la expresión objetivo:
$$ E = 1^3(1 + 1^3) + 1^3(1 + 1^3) $$
$$ E = 1(2) + 1(2) = 2 + 2 = 4 $$
$$ \boxed{4} $$