1. Datos del problema:
Se nos da la expresión para la secante: $\sec x = p + \dfrac{1}{4p} = \dfrac{4p^2 + 1}{4p}$.

2. Fórmulas a utilizar:
Utilizaremos la identidad pitagórica fundamental:
$$ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el valor de $\sec x$:
$$ \begin{aligned} \tan^2 x &= \left( p + \frac{1}{4p} \right)^2 - 1 \\ \tan^2 x &= p^2 + 2(p)\left(\frac{1}{4p}\right) + \frac{1}{16p^2} - 1 \\ \tan^2 x &= p^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16p^2} - 1 \\ \tan^2 x &= p^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16p^2} \end{aligned} $$
Notamos que el trinomio resultante es un cuadrado perfecto:
$$ \tan^2 x = \left( p - \frac{1}{4p} \right)^2 \implies \tan x = p - \frac{1}{4p} $$

Finalmente, calculamos la suma solicitada:
$$ \begin{aligned} \sec x + \tan x &= \left( p + \frac{1}{4p} \right) + \left( p - \frac{1}{4p} \right) \\ \sec x + \tan x &= 2p \end{aligned} $$

4. Conclusión:
El valor de la expresión es $2p$.

$$ \boxed{2p} $$