1. Transformación de potencias:
Sabemos que:
$$ (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x $$
Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$$ 1 = \sin^4 x + \cos^4 x + \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 \implies \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la ecuación:
$$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = \cos 4x $$
Usamos la identidad $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$:
$$ 1 - \frac{1}{2}\left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = \cos 4x $$
Multiplicamos todo por 4 para eliminar denominadores:
$$ 4 - (1 - \cos 4x) = 4\cos 4x $$
$$ 3 + \cos 4x = 4\cos 4x \implies 3 = 3\cos 4x \implies \cos 4x = 1 $$

3. Búsqueda de soluciones:
Para $\cos 4x = 1$ en el rango de $x \in [0^\circ, 360^\circ]$:
$$ \begin{array}{lll} 4x = 0^\circ & \implies & x = 0^\circ \\ 4x = 360^\circ & \implies & x = 90^\circ \\ 4x = 720^\circ & \implies & x = 180^\circ \\ 4x = 1080^\circ & \implies & x = 270^\circ \\ 4x = 1440^\circ & \implies & x = 360^\circ \end{array} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = 0^\circ; 90^\circ; 180^\circ; 270^\circ; 360^\circ} $$