1. Fórmulas a utilizar:

• Ángulos complementarios: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$
• Ángulo mitad: $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ y $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$
• Pitagórica: $\sec^2 \alpha - 1 = \tan^2 \alpha$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el numerador (complementario) y el miembro derecho (identidad pitagórica):
$$ \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \tan^2 \frac{x}{2} $$

Usamos identidades de ángulo mitad en el lado izquierdo:
$$ \frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} = \tan^2 \frac{x}{2} $$

Simplificamos:
$$ \tan \frac{x}{2} = \tan^2 \frac{x}{2} $$

Igualamos a cero y factorizamos:
$$ \tan^2 \frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2} = 0 \implies \tan \frac{x}{2} \left( \tan \frac{x}{2} - 1 \right) = 0 $$

Caso 1: $\tan(x/2) = 0$
$$ \frac{x}{2} = 0^\circ, 180^\circ \implies x = 0^\circ, 360^\circ $$

Caso 2: $\tan(x/2) - 1 = 0 \implies \tan(x/2) = 1$
$$ \frac{x}{2} = 45^\circ \implies x = 90^\circ $$

3. Resultado:
$$ \boxed{x = 0^\circ; 90^\circ; 360^\circ} $$