1. Datos y fórmulas:
Utilizaremos las identidades del ángulo mitad y del ángulo doble:

• Identidad del ángulo mitad: $2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 1 - \cos x$
• Identidad pitagórica: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las identidades en la ecuación original:
$$ 1 - \cos x = 1 - \cos^2 x $$

Restamos 1 en ambos miembros y trasponemos términos para igualar a cero:
$$ \cos^2 x - \cos x = 0 $$

Factorizamos por factor común $\cos x$:
$$ \cos x (\cos x - 1) = 0 $$

Obtenemos dos casos para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ]$:

Caso 1: $\cos x = 0$
$$ x_1 = 90^\circ, \quad x_2 = 270^\circ $$

Caso 2: $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$
$$ x_3 = 0^\circ, \quad x_4 = 360^\circ $$

3. Conclusión:
Ordenando los valores obtenidos:
$$ \boxed{x = 0^\circ; 90^\circ; 270^\circ; 360^\circ} $$