1. Identificación de identidades y restricciones:

• Identidad del seno para ángulos negativos: $\operatorname{sen}(x - \pi) = -\operatorname{sen}(\pi - x) = -\operatorname{sen} x$.
• Identidad pitagórica: $\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$.
• Restricción: $\tan x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0^\circ, 180^\circ$ y $\sec x$ debe existir $\Rightarrow x \neq 90^\circ, 270^\circ$.

2. Simplificación de la ecuación:
Sustituimos las identidades en la ecuación original:
$$ [\cos x - (-\operatorname{sen} x)]^2 + 1 = \frac{2 \operatorname{sen}^2 x}{\tan^2 x} $$
$$ (\cos x + \operatorname{sen} x)^2 + 1 = \frac{2 \operatorname{sen}^2 x}{\frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}} $$
$$ \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x + 2 \operatorname{sen} x \cos x + 1 = 2 \cos^2 x $$
Como $\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1$ y $2 \operatorname{sen} x \cos x = \operatorname{sen} 2x$:
$$ 1 + \operatorname{sen} 2x + 1 = 2 \cos^2 x $$
Usamos $2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$:
$$ 2 + \operatorname{sen} 2x = 1 + \cos 2x \Rightarrow \operatorname{sen} 2x - \cos 2x = -1 $$

3. Resolución por método del ángulo auxiliar:
Dividimos toda la expresión entre $\sqrt{2}$:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname{sen} 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$
Esto equivale a:
$$ \operatorname{sen}(2x - 45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$
Determinamos los valores para el argumento:
$$ 2x - 45^\circ = 225^\circ + 360^\circ k \quad \text{o} \quad 2x - 45^\circ = 315^\circ + 360^\circ k $$

Caso 1:
$$ 2x = 270^\circ \Rightarrow x = 135^\circ $$
Caso 2:
$$ 2x = 360^\circ \Rightarrow x = 180^\circ \text{ (No válida por restricción de división entre cero)} $$
Buscando otros valores en la segunda vuelta ($k=1$):
$$ 2x - 45^\circ = 225^\circ + 360^\circ = 585^\circ \Rightarrow 2x = 630^\circ \Rightarrow x = 315^\circ $$

4. Representación visual de soluciones en el círculo unitario:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Cuadrante} & \text{Ángulo } x & \text{Validez} \\ \hline II & 135^\circ & \text{Válida} \\ \hline III & 180^\circ & \text{No válida (div/0)} \\ \hline IV & 315^\circ & \text{Válida} \\ \hline \end{array} $$

Resultado final:
$$ \boxed{x = 135^\circ; 315^\circ} $$